Buktikan Identitas Trigonometri: $(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2$
Pembahasan
Identitas trigonometri yang akan kita buktikan adalah $(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2$. Untuk membuktikan identitas ini, kita perlu menggunakan beberapa sifat dan identitas trigonometri dasar.
Langkah 1: Ekspansi Perkalian
Pertama, kita ekspansi perkalian pada ruas kiri:
$(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x(cos^2x+1)+(cos^2x+1)$
Kemudian, kita distribusikan $tan^2x$ dan $1$ ke dalam kurung:
$=tan^2x cos^2x+tan^2x+cos^2x+1$
Langkah 2: Manipulasi Aljabar
Selanjutnya, kita manipulasi persamaan di atas dengan menggunakan sifat $tan^2x+1=sec^2x$ dan $cos^2x+sin^2x=1$:
$=tan^2x cos^2x+(sec^2x-1)+cos^2x+1$
Kemudian, kita gabungkan suku-suku yang benzer:
$=tan^2x cos^2x+sec^2x+cos^2x$
Langkah 3: Menyederhanakan Persamaan
Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan dengan menggunakan identitas $tan^2x=sec^2x-1$:
$=(sec^2x-1)cos^2x+sec^2x+cos^2x$
Kemudian, kita gabungkan suku-suku yang benzer:
$=sec^2x(cos^2x+1)-cos^2x+cos^2x$
$=sec^2x(cos^2x+1)-0$
$=sec^2x(cos^2x+1)$
Langkah 4: Kesimpulan
Kita dapat menyederhanakan persamaan lebih lanjut dengan menggunakan identitas $sec^2x=tan^2x+1$:
$=(tan^2x+1)(cos^2x+1)$
$=tan^2x+2$
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa $(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2$.